【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).

(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ,求線段AM的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,

依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

,

=0.

所以B1C1⊥CE;


(2)解: ,

設(shè)平面B1CE的法向量為 ,

,即 ,取z=1,得x=﹣3,y=﹣2.

所以

由(1)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1,

為平面CEC1的一個(gè)法向量,

于是 =

從而 = =

所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值為


(3)解: ,

設(shè) 0≤λ≤1,

為平面ADD1A1的一個(gè)法向量,

設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,

=

=

于是

解得 .所以

所以線段AM的長(zhǎng)為


【解析】(1)由題意可知,AD,AB,AA1兩兩互相垂直,以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后,求出 ,由 得到B1C1⊥CE;(2)求出平面B1CE和平面CEC1的一個(gè)法向量,先求出兩法向量所成角的余弦值,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值,則二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求;(3)利用共線向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和C1的坐標(biāo)及待求系數(shù)λ表示,求出平面ADD1A1的一個(gè)法向量,利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值,代入 求出λ的值,則線段AM的長(zhǎng)可求.

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(1)證明: 平面;

(2)求三棱錐的體積.

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(2)對(duì)x∈(0,1],不等式sf(x)≥2x﹣1恒成立,求實(shí)數(shù)s的取值范圍;
(3)令g(x)= ,若關(guān)于x的方程g(2x)﹣mg(x+1)=0有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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②當(dāng)x>1時(shí),乙走在最前面;
③當(dāng)0<x<1時(shí),丁走在最前面,當(dāng)x>1時(shí),丁走在最前面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去,最終走在最前面的是甲.
其中,正確結(jié)論的序號(hào)為(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上,多填或少填均不得分)

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