Question

15．已知兩個定點A（-1，0）、B（2，0），求使∠MBA=2∠MAB的點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設動點M坐標為（x，y），∠MAB=β，∠MBA=α，即α=2β，可得tanα=tan2β，利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡，得到關系式，分三種情況考慮：如圖（1），點M在x軸上方時；如圖（2）當M在x軸下方時；如圖（3）當M在x軸上時，分別列出軌跡方程即可．

解答 解：設動點M的坐標為（x，y），∠MAB=β，
∠MBA=α，即α=2β，
∴tanα=tan2β，則tanα=$\frac{2tanβ}{1-tan2β}$①，
（1）如圖（1），當點M在x軸上方時，tanβ=$\frac{y}{x+1}$，
tanα=$\frac{y}{2-x}$，
將其代入①式并整理得：3x²-y²=3（x＞0，y＞0）；                
（2）如圖（2），當點M在x軸的下方時，
tanβ=$\frac{-y}{x+1}$，tanα=$\frac{-y}{2-x}$，
將其代入①式并整理得3x²-y²=3（x＞0，y＜0）；
（3）當點M在x軸上時，若滿足α=2β，M點只能在線段AB上運動（端點A、B除外），只能有α=β=0．
綜上所述，可知點M的軌跡方程為3x²-y²=3（右支）或y=0 （-1＜x＜2）．

點評 此題考查了軌跡方程，利用了分類討論的思想，結合圖形、考慮問題全面是解本題的關鍵．