Question

5．雙曲線x²-y²=2015的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，P為其右支上不同于B的一點(diǎn)，且∠APB=2∠PAB，則∠PAB=．

Answer 1

分析 由雙曲線x²-y²=2015，焦點(diǎn)在x軸上，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得k_PA=tan∠PAB=$\frac{y}{x+\sqrt{2015}}$，k_PB=-tan∠PBA=$\frac{y}{x-\sqrt{2015}}$，則-tan∠PAB•tan∠PBA=1，tan∠PABtan（3∠PAB）=1，則tan∠PABtan（3∠PAB）=1，tan（3∠PAB）=tan（$\frac{π}{2}$-∠PAB），可得3∠PAB=$\frac{π}{2}$-∠PAB，即可求得∠PAB=$\frac{π}{8}$．

解答 解：由題意雙曲線x²-y²=2015，焦點(diǎn)在x軸上，
A（-$\sqrt{2015}$，0），B（$\sqrt{2015}$，0），P（x，y），
k_PA=tan∠PAB=$\frac{y}{x+\sqrt{2015}}$，①
k_PB=-tan∠PBA=$\frac{y}{x-\sqrt{2015}}$，②
由x²-y²=2015，可得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2015}=1$，
①×②，得-tan∠PAB•tan∠PBA=1，
∴tan∠PABtan（3∠PAB）=1
即tan（3∠PAB）=tan（$\frac{π}{2}$-∠PAB）
∴3∠PAB=$\frac{π}{2}$-∠PAB，
∴∠PAB=$\frac{π}{8}$，
故答案為：$\frac{π}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．