Question

4．如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，點M，N分別是PD，DC的中點
（Ⅰ）判斷直線MN與平面PAC的位置關(guān)系，并給予證明
（Ⅱ）求三棱錐P-AMN的體積．

Answer 1

分析 （I）由中位線定理可得MN∥PC，故而MN∥平面PAC；
（II）用三棱錐P-ADN的體積減去三棱錐M-ADN的體積即可．

解答 解：（I）MN∥平面PAC．
證明：∵M(jìn)，N是PD，PC的中點，
∴MN∥PC，
∵PC?平面PAC，MN?平面PAC，
∴MN∥平面PAC．
（II）S_△ADN=$\frac{1}{2}AD×DN$=$\frac{1}{2}×2×1=1$，
V_棱錐P-ADN=$\frac{1}{3}{•S}_{△ADN}•PA$=$\frac{2}{3}$，
V_棱錐M-ADN=$\frac{1}{3}•{S}_{△ADN}•\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{3}$．
∴V_棱錐P-AMN=V_棱錐P-ADN-V_棱錐M-ADN=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．