Question

7．設函數(shù)f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若對于任意x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a取值范圍是a≥4．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分類法進行展會構造函數(shù)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，求函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得到結論．

解答 解：當x＞0即x∈（0，1]時，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
設g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，則g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，
因此g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4，從而a≥4；
故答案為：a≥4

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用參數(shù)分離法，進行轉化，構造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)法是解決本題的關鍵．