Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx，a∈R且a≠1，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為0．
（1）求b的值；
（2）若存在x∈[1，+∞），使得f（x）＜

a

a-1

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論：①當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，③若a＞1時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx，a∈R且a≠1，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a

x

+（1-a）x-b（x＞0），
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0，
∴f′（1）=a+（1-a）×1-b=0，
解得b=1．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由（1）可知：f（x）=alnx+

1-a

2

x²-x，
∴f′（x）=

a

x

+（1-a）x-1=

1-a

x

（x-1）（x-

a

1-a

）．
①當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，則

a

1-a

≤1，
則當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴存在x≥1，使得f（x）＜

a

a-1

的充要條件是f（1）＜

a

a-1

，即

1-a

2

-1＜

a

a-1

，
解得-

2

-1＜a＜

2

-1；
②當(dāng)

1

2

a＜1時(shí)，則

a

1-a

＞1，
則當(dāng)x∈（1，

a

1-a

）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，

a

1-a

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（

a

1-a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（

a

1-a

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴存在x≥1，使得f（x）＜

a

a-1

的充要條件是f（

a

1-a

）＜

a

a-1

，
而f（

a

1-a

）=aln

a

1-a

+

a2

2(1-a)

+

a

1-a

＞

a

a-1

，不符合題意，應(yīng)舍去．
③若a＞1時(shí)，f（1）=

1-a

2

-1=

-a-1

2

＜

a

a-1

，成立．
綜上可得：a的取值范圍是（-

2

-1，

2

-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．