Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x-1|，g（x）=-|x-4|+m．
（Ⅰ）解關于x的不等式g[f（x）]+1-m＞0；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為||x|+|x-1|-4|＜1，解出即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為m＜|x|+|x-1|+|x-4|恒成立，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由g[f（x）]+2-m＞0
得：||x|+|x-1|-4|＜1，
∴3＜|x|+|x-1|＜5，
故不等式的解集為（-2，-1）∪（2，3）；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，
即m＜|x|+|x-1|+|x-4|恒成立，
令h（x）=|x|+|x-1|+|x-4|，
①x≥4時，h（x）=3x-5，h（x）∈[7，+∞），
②1＜x＜4時，h（x）=x+3，h（x）∈（4，7），
③0≤x≤1時，h（x）=5-x，h（x）∈[4，5]，
④x＜0時，h（x）=5-3x，h（x）∈（5，+∞），
故h（x）的最小值是4，
∴m的取值范圍為m＜4．

點評 本題考查了絕對值不等式的意義，解絕對值不等式問題，是一道中檔題．