Question

13．如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓O，D是$\widehat{BAC}$的中點(diǎn)，∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（Ⅰ）求證：BF是△ABE外接圓的切線；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB²-DA²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)△ABE外接圓的圓心為O′，連結(jié)BO′并延長交圓O′于G點(diǎn)，連結(jié)GE，則∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可證∠FBE=∠BAE，進(jìn)而證明∠FBG=90°，即可得證BF是△ABE外接圓的切線．
（Ⅱ）連接DF，則DF⊥BC，由勾股定理可得BD²-DA²=AF²-BF²，利用相似三角形的性質(zhì)可得AB•AC=AE•AF=（AF-EF）•AF，由△FBE∽△FAB，從而BF²=FE•FA，得AB-AC=AF²-BF²，進(jìn)而可求BD²-DA²=AB•AC=6．

解答 （本題滿分為10分）．
解：（Ⅰ）設(shè)△ABE外接圓的圓心為O′，連結(jié)BO′并延長交圓O′于G點(diǎn)，連結(jié)GE，
則∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因?yàn)锳F平分∠BAC，
所以$\widehat{BF}=\widehat{FC}$，
所以∠FBE=∠BAE，（2分）
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°-∠BEG=90°，
所以O(shè)′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圓的切線…（5分）
（Ⅱ）連接DF，則DF⊥BC，
所以DF是圓O的直徑，
因?yàn)锽D²+BF²=DF²，DA²+AF²=DF²，
所以BD²-DA²=AF²-BF²．（7分）
因?yàn)锳F平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AF}{AC}$，
所以AB•AC=AE•AF=（AF-EF）•AF，
因?yàn)椤螰BE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，從而BF²=FE•FA，
所以AB-AC=AF²-BF²，
所以BD²-DA²=AB•AC=6…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．