Question

3．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）求使不等式（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）≥p$\sqrt{2n+1}$對(duì)一切n∈N^*均成立的最大實(shí)數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）把給出的不等式變形，得到p≤$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）對(duì)n∈N^*恒成立，記f（n）=$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），由作商法求得其單調(diào)性可得最大實(shí)數(shù)p的值．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}={n^2}$，得a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$；
（Ⅲ）由題意得p≤$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）對(duì)n∈N^*恒成立，
記f（n）=$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
則$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2n+3}}（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}$
=$\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}}$=$\frac{2（n+1）}{\sqrt{4（n+1）^{2}-1}}$＞$\frac{2（n+1）}{2（n+1）}$=1．
∵f（n）＞0，
∴f（n+1）＞f（n），
即f（n）是隨n的增大而增大，f（n）的最小值為f（1）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴實(shí)數(shù)p的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義及判定方法，數(shù)列的遞推公式，恒成立問題，是數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．