已知橢圓數(shù)學(xué)公式的離心率為數(shù)學(xué)公式,并且直線y=x+b是拋物線C2:y2=4x的一條切線.
(I)求橢圓C1的方程.
(Ⅱ)過點數(shù)學(xué)公式的動直線l交橢圓C1于A、B兩點,試問:在直角坐標平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過定點T?若存在求出T的坐標;若不存在,請說明理由.

解:(I)由得x2+(2b-4)x+b2=0
直線y=x+b是拋物線C2:y2=4x的一條切線.
所以△=0?b=1
所以橢圓(5分)
(Ⅱ)當直線l與x軸平行時,以AB為直徑的圓方程為
當直線l與y軸重合時,以AB為直徑的圓方程為x2+y2=1
所以兩圓的切點為點(0,1)(8分)
所求的點T為點(0,1),證明如下.
當直線l與x軸垂直時,以AB為直徑的圓過點(0,1)
當直線l與x軸不垂直時,可設(shè)直線l為:
得(18k2+9)x2-12kx-16=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則
所以,即以AB為直徑的圓過點(0,1)
所以存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過定點T(13分)
分析:(I)先跟據(jù)直線y=x+b是拋物線C2:y2=4x的一條切線,求出b的值,再由橢圓離心率為,求出a的值,則橢圓方程可得.
(Ⅱ)先假設(shè)存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過定點,再用垂直時,向量,的數(shù)量積為0,得到關(guān)于直線斜率k的方程,求k,若能求出,則存在,若求不出,則不存在.
點評:本題考查了橢圓,拋物線與直線的綜合運用,另外,還結(jié)合了向量知識,綜合性強,須認真分析.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的離心率為e,兩焦點分別為F1、F2,拋物線C以F1為頂點、F2為焦點,點P為拋物線和橢圓的一個交點,若e|PF2|=|PF1|,則e的值為(  )
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的離心率為
1
2
,焦點是(-3,0),(3,0),則橢圓方程為( 。
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在由圓O:x2+y2=1和橢圓C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中,已知橢圓的離心率為
6
3
,直線l與圓O相切于點M,與橢圓C相交于兩點A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得
OA
OB
=
1
2
OM
2
,若存在,求此時直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知橢圓的離心率為
2
2
,準線方程為x=±8,求這個橢圓的標準方程;
(2)假設(shè)你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30-7:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:00-8:00之間,請你求出父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,A,B是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點,M是橢圓上異于A,B的任意一點,已知橢圓的離心率為e,右準線l的方程為x=m.
(1)若e=
1
2
,m=4,求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線AM交l于點P,以MP為直徑的圓交MB于Q,若直線PQ恰過原點,求e.

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