Question

已知橢圓的離心率為，并且直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
（I）求橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）過點的動直線l交橢圓C₁于A、B兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由得x²+（2b-4）x+b²=0
直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
所以△=0?b=1
所以橢圓（5分）
（Ⅱ）當直線l與x軸平行時，以AB為直徑的圓方程為
當直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為x²+y²=1
所以兩圓的切點為點（0，1）（8分）
所求的點T為點（0，1），證明如下．
當直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓過點（0，1）
當直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線l為：
由 得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
所以，即以AB為直徑的圓過點（0，1）
所以存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T（13分）
分析：（I）先跟據(jù)直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線，求出b的值，再由橢圓離心率為，求出a的值，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先假設(shè)存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，向量，的數(shù)量積為0，得到關(guān)于直線斜率k的方程，求k，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．
點評：本題考查了橢圓，拋物線與直線的綜合運用，另外，還結(jié)合了向量知識，綜合性強，須認真分析．