已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]
（1）求|
a
+
b
|并判斷x為何值時
a
⊥
b
；
（2）若f(x)=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求λ的值．
分析：（1）先求出
a
+
b
 的坐標(biāo)，從而求出|
a
+
b
|的值，從而求得|
a
+
b
|=2cosx．再由
a
•
b
=cos2x，求出
a
⊥
b
時x的值．
（2）化簡函數(shù)f（x）的解析式為2（cosx-λ）2-1-2λ2，分λ＜0、0≤λ≤1、λ＞1三種情況，根據(jù)函數(shù)的最小值等于-
3
2
分必然求出λ的值．
解答：解：（1）∵
a
+
b
=（ cos
3x
2
+cos
x
2
，sin 
3x
2
-sin
x
2
 ），故 |
a
+
b
|2=2+2cos2x=4cos2x．
因?yàn)?span id="atacixo" class="MathJye">x∈[0，
π
2
]，所以|
a
+
b
|=2cosx． 再由
a
•
b
=cos2x，
若
a
⊥
b
，則
a
•
b
=0，所以x=
π
4
時，
a
⊥
b
．
（2）∵f(x)=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|=2（cosx-λ）2-1-2λ2，
因?yàn)?span id="jynqrny" class="MathJye">x∈[0，
π
2
]，所以cosx∈[0，1]．
討論：若λ＜0時，f（x）min=-1，矛盾．
若0≤λ≤1時，f(x)min=-1-2λ2=-
3
2
，解得λ=
1
2
．
若λ＞1時，f（x）min=1-4λ=-
3
2
，解得λ=
5
8
，矛盾．
綜合可得 λ=
1
2
．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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