14．如圖，割線PAB交于圓O于A、B兩點，PO交于圓O于C，D在AB上，且滿足CD2=DA•DB．
（Ⅰ）求證：OD⊥CD；
（Ⅱ）若PA=6，AB=$\frac{22}{3}$，PO=12，求PC的長．

分析 （Ⅰ）延長CD，交圓O于E，證明D是CE的中點，即可證明：OD⊥CD；
（Ⅱ）延長PO交圓O于F，由割線定理得PC•PF=PA•PB，代入數(shù)據(jù)求PC的長．

解答 （Ⅰ）證明：延長CD，交圓O于E，
由相交弦定理得CD•DE=DA•DB，
∵CD2=DA•DB，
∴CD=DE，
∴D是CE的中點，
∴OD⊥CD；
（Ⅱ）解：延長PO交圓O于F，
由割線定理得PC•PF=PA•PB，
設圓O的半徑為r，則（12-r）（12+r）=6×（6+$\frac{22}{3}$），
∴r=8，
∴PC=4．

點評 本題考查相交弦定理、割線定理，考查學生方程解決問題的能力，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．從某次知識競賽中隨機抽取100名考生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，分數(shù)落在區(qū)間[55，65），[65，75），[75，85）內的頻率之比為4：2：1．
（Ⅰ）求這些分數(shù)落在區(qū)間[55，65]內的頻率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在區(qū)間[45，75）內抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2個分數(shù)，求這2個分數(shù)都在區(qū)間[55，75]內的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)f（x）=-x2+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2x2，討論函數(shù)g（x）的單調性；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中函數(shù)g（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，PA=PB=2$\sqrt{2}$．若點N在線段PD上，且PN=kPD（0＜k＜1），平面BCN與PA相交于點M．
（1）求證：AD∥MN；
（2）當k=$\frac{1}{4}$時，求直線BN與平面PAD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連結CF交AB于點E．若AB=6，ED=4，則EF=（　�。�
A．2B．$\sqrt{5}$C．$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$D．$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=x2-alnx-x（a≠0）
（1）若f（x）在x=$\frac{3}{4}$處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若a＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)f（x）圖象上的任意兩點，記直線AB的斜率為k，求證：f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞k．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O與邊BC，AC分別交于點D，E，且DF⊥AC于F．若CD=3，EA=$\frac{7}{5}$，則EF的長為$\frac{9}{5}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．已知條件p：|x|≤1，條件q：x＜-2，則p是?q的（　　）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，求$\frac{sin（\frac{3π}{2}+α）tan（α-5π）cos（\frac{π}{6}-α）}{sin（\frac{π}{3}+α）}$的值．

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