Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O與邊BC，AC分別交于點D，E，且DF⊥AC于F．若CD=3，EA=$\frac{7}{5}$，則EF的長為$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，于是可判斷OD∥AC，由于DF⊥AC，所以O(shè)D⊥DF，得到DF為⊙O的切線，連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，等量代換得到∠DEF=∠C，求得DE=DC，推出CF=EF，通過△CDF∽△CAD，利用切割線定理即可得到結(jié)論．

解答 解：連接OD，AD，
∵AB=AC，AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于F，
∴OD⊥DF，
∴DF為⊙O的切線；
連接DE，則∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEF=∠C，
∴DE=DC，
∴CF=EF，
∵CD=3，EA=$\frac{7}{5}$，
∴9=DF²+CF²，DF²=CF•（EF+$\frac{7}{5}$）
∴EF=$\frac{9}{5}$，
故答案為：$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．