Question

6．已知f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，下列命題：
①若y=f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0；
②若對(duì)任意的x＞0，都有f（x）＜f（0），則函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上一定是減函數(shù)；
③“函數(shù)y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=f（x）為奇函數(shù)”的必要不充分條件；
④若存在x_i∈[a，b]（1≤i≤n；n≥2；i，n∈N₊），當(dāng)x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n時(shí)，有f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃）＜…＜f（x_n），則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增；
⑤若?x₀∈（a，b）使f′（x₀）=0，且f′（a）f′（b）＜0，則x=x₀為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)為①③⑤．

Answer 1

分析 ①由y=f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，且在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增，即可判斷出真假；
②不正確，例如取f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$-2x，f′（x）=-（x-1）（x-2），可知函數(shù)f（x）在x=2時(shí)取得極大值，f（2）=-$\frac{2}{3}$＜0=f（0），即可判斷出；
③若“y=f（x）為奇函數(shù)”，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則“函數(shù)y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”；反之不成立，例如f（x）=x²，即可判斷出真假；
④是假命題，例如取x∈[1，4]，x∈[1，2）時(shí)，f（x）=$2（x-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{7}{8}$；x∈[2，3），f（x）=$-2（x-\frac{11}{4}）^{2}$+$\frac{25}{8}$；x∈[3，4]，f（x）=$2（x-\frac{13}{4}）^{2}$+$\frac{23}{8}$，即可判斷出真假；
⑤利用函數(shù)取得極值的充要條件即可判斷出．

解答 解：①若y=f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，且在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：在R上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜f（0）=0，因此正確；
②若對(duì)任意的x＞0，都有f（x）＜f（0），則函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上一定是減函數(shù)，不正確，例如取f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$-2x，f′（x）=-（x-1）（x-2），可知函數(shù)f（x）在x=2時(shí)取得極大值，在x=1取得極小值，f（2）=-$\frac{2}{3}$＜0=f（0）；
③若“y=f（x）為奇函數(shù)”，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則“函數(shù)y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”；反之不成立，例如f（x）=x²，函數(shù)y=|f（x）|=x²的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，因此正確；
④是假命題，例如取x∈[1，4]，x∈[1，2）時(shí)，f（x）=$2（x-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{7}{8}$；x∈[2，3），f（x）=$-2（x-\frac{11}{4}）^{2}$+$\frac{25}{8}$；x∈[3，4]，f（x）=$2（x-\frac{13}{4}）^{2}$+$\frac{23}{8}$，滿足f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4），但不是單調(diào)遞增函數(shù)．
⑤若?x₀∈（a，b）使f′（x₀）=0，且f′（a）f′（b）＜0，則x=x₀為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，正確．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．