Question

以下命題：
①已知函數(shù)f（x）=（a²-a-1）x

1

a-2

為冪函數(shù)，則a=-1；
②向量

a

=（-1，1）在向量

b

=（3，4）方向上的投影為

1

5

；
③函數(shù)f（x）=x²-2^x的零點(diǎn)有2個(gè)；
④若扇形圓心角的弧度數(shù)為2，且扇形弧所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)扇形的面積為

1

sin21

．
所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①已知函數(shù)f（x）=（a²-a-1）x

1

a-2

為冪函數(shù)，則

a2-a-1=1 a≠2

，解得即可；
②向量

a

=（-1，1）在向量

b

=（3，4）方向上的投影為

a • b

| b |

；
③當(dāng)x＞0時(shí)，f（2）=f（4）=0，當(dāng)x≤0時(shí)，利用f（0）f（-1）＜0，因此次函數(shù)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出；
④若扇形圓心角的弧度數(shù)為2，且扇形弧所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)扇形的半徑r=

1

sin1

，其面積=

1

2

×α•r2即可得出．

解答： 解：①已知函數(shù)f（x）=（a²-a-1）x

1

a-2

為冪函數(shù)，則

a2-a-1=1 a≠2

，解得a=-1，因此正確；
②向量

a

=（-1，1）在向量

b

=（3，4）方向上的投影為

a • b

| b |

=

-3+4

32+42

=

1

5

，因此正確；
③當(dāng)x＞0時(shí)，f（2）=f（4）=0，當(dāng)x≤0時(shí)，∵f（0）f（-1）＜0，因此次函數(shù)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=x²-2^x的零點(diǎn)有2個(gè)不正確；
④若扇形圓心角的弧度數(shù)為2，且扇形弧所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)扇形的半徑r=

1

sin1

，其面積=

1

2

×α•r2=

1

2

×2×(

1

sin1

)2=

1

sin21

，因此正確．
所有真命題的序號(hào)是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了冪函數(shù)的定義、向量的投影、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、扇形的弧長(zhǎng)公式及其面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．