Question

14．設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$均為單位向量，其夾角為θ，若$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1，|\overrightarrow a-\overrightarrow b|＞1$，則θ的取值范圍為（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積定義求得向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的數(shù)量積，再由平方法，向量的平方即為模的平方，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到范圍．

解答 解：由于$\overrightarrow a，\overrightarrow b$均為單位向量，其夾角為θ，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×1×cosθ=cosθ，
由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|＞1，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²＞1，
即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞1，
即1+1+2cosθ＞1，即cosθ＞-$\frac{1}{2}$，
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＞1，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²＞1，
即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞1，
即1+1-2cosθ＞1，即cosθ＜$\frac{1}{2}$，
綜上可得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜$\frac{1}{2}$，
由于0≤θ≤π，
解得$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$．
則θ的取值范圍為（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）．
故答案為：（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)及運用，考查運算能力，屬于中檔題．