Question

已知函數(shù)R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，并討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）問是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上取得最小值3？請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且 ．
令f′（x）=0，得 x=-m．--------------（2分）
當m≥0時，x+m＞0，，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當m＜0時，在區(qū)間（0，-m）上f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，-m）上是減函數(shù)；
在區(qū)間（-m，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-m，+∞）上是增函數(shù)．---（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）若m≥-1，則在區(qū)間[1，e]上f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
此時，f（x）取最小值f（1），
由f（1）=-m=3，得m=-3∉[-1，+∞）；--------（8分）
（2）若m≤-e，則在區(qū)間[1，e]上f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
此時，f（x）取最小值f（e），
由，得m=-2e∈（-∞，-e]；-------（10分）
（3）若-e＜m＜-1，
則在區(qū)間[1，-m）上f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[1，-m）上是減函數(shù)，
在區(qū)間（-m，+∞）上f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-m，+∞）上是增函數(shù)，
此時，f（x）取最小值f（-m），
由f（-m）=ln（-m）+1=3，得m=e²∉（-e，-1）；------（12分）
綜上所述，存在實數(shù)m=-2e，使得f（x）在區(qū)間[1，e]上取得最小值3．----------（13分）
分析：（I）求出導函數(shù)，令f′（x）=0，得 x=-m，通過討論根與定義域的關系，判斷出導函數(shù)的符號，進一步判斷出函數(shù)的單調性．
（II）通過討論根x=-m與區(qū)間[1，e]的關系，判斷出導函數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調性，進一步求出f（x）在區(qū)間[1，e]上取得最小值，令其等于3，求出m的范圍．
點評：解決函數(shù)的單調性、極值、最值常利用的工具是導函數(shù)，若函數(shù)中含有參數(shù)，一般需要討論，討論的起點往往從根與區(qū)間的關系上引起討論．