Question

某公司有價值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品附加值，改造需要投入，假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
（1）y與a-x和x的乘積成正比；
（2）x=

a

2

時，y=a²；
（3）0≤

x

2(a-x)

≤t，其中為常數(shù)，且t∈[0，1]．
求：（Ⅰ）設(shè)y=f（x），求f（x）表達(dá)式，并求y=f（x）的定義域；
（Ⅱ）求出附加值y的最大值，并求出此時的技術(shù)改造投入．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：常規(guī)題型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)y=k（a-x）x求k，并由0≤

x

2(a-x)

≤t求出定義域，（Ⅱ）注意對t與a的討論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)y=k（a-x）x，
∵x=

a

2

時，y=a²；
∴k=4，
∴y=4（a-x）x，
∵0≤

x

2(a-x)

≤t，
∴0≤x≤

2at

1+2t

，
∴y=f（x）的定義域為[0，

2at

1+2t

]，t∈[0，1]．
（Ⅱ）y=4（a-x）x=-4（x-

a

2

）²+a²
當(dāng)

2at

1+2t

≥

a

2

，即

1

2

≤t≤1時，
x=

a

2

時，y_max=a²，
當(dāng)

2at

1+2t

＜

a

2

，即0≤t＜

1

2

時，
y=f（x）在[0，

2at

1+2t

]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=

2at

1+2t

時，y_max=

8a2t

(1+2t)2

，
∴當(dāng)

1

2

≤t≤1時，投入x=

a

2

萬元時，附加值最大為y_max=a²萬元，
當(dāng)0≤t＜

1

2

時，投入x=

2at

1+2t

萬元時，附加值最大為y_max=

8a2t

(1+2t)2

萬元．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)表達(dá)式的求法及定義域的求法，同時考查了最值的求法及分類討論的數(shù)學(xué)思想．