Question

3．已知P為拋物線(xiàn)y²=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x²+（y-4）²=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離之和最小值是$\sqrt{17}$-2．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的y軸距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)F的距離減去圓的半徑減去y軸與準(zhǔn)線(xiàn)的距離．

解答 解：拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），圓x²+（y-4）²=1的圓心為C（0，4），
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，
進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的y軸距離之和的最小為：
|FC|-r-1=$\sqrt{1+16}$-1-1=$\sqrt{17}$-2，
故答案為：$\sqrt{17}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．