Question

15．已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=asinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）若a=2，直線l與x軸的交點(diǎn)是M，N是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值；
（2）直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的$\sqrt{3}$倍，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的圓心和半徑，M點(diǎn)坐標(biāo)，則|MN|的最大值為|MC|+r；
（2）由垂徑定理可知圓心到直線l的距離為半徑的$\frac{1}{2}$，列出方程解出．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1．∴圓C的圓心坐標(biāo)為C（0，1），半徑r=1．
令y=$\frac{4}{5}t$=0得t=0，把t=0代入x=-$\frac{3}{5}t+2$得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．∴|MN|的最大值為|MC|+r=$\sqrt{5}+1$．
（2）由ρ=asinθ得ρ²=aρsinθ，∴圓C的直角坐標(biāo)方程是x²+y²=ay，即x²+（y-$\frac{a}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∴圓C的圓心為C（0，$\frac{a}{2}$），半徑為|$\frac{a}{2}$|，
直線l的普通方程為4x+3y-8=0．
∵直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的$\sqrt{3}$倍，
∴圓心C到直線l的距離為圓C半徑的一半．
∴$\frac{|\frac{3a}{2}-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=|$\frac{a}{4}$|，解得a=32或a=$\frac{32}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化為普通方程，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．