Question

6．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+6a₂=1，a₃²=9a₁a₇．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）由等比數(shù)列的關(guān)系可得到a₁、q，即可寫出通項(xiàng)公式，（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，b_n=$\frac{-2}{n（n+1）}$，$\frac{1}{_{n}}$=$-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再累計(jì)求前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列公比為為q，因各項(xiàng)為正，有q＞0（1分）由$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+6{a_2}=1}\\{a_3^2=9{a_1}{a_7}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+6{a_1}q=1}\\{a_1^2{q^4}=9{a_1}^2{q^6}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=\frac{1}{3}}\\{q=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$（5分）
∴${a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$（n∈N^*）    （6分）
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=log₃（a₁•a₂…a_n）=${log_3}{（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n}}$=$-\frac{n（n+1）}{2}$（9分）
∴$\frac{1}{b_n}=-\frac{2}{n（n+1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$（10分）
∴$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=-2[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]$=$-\frac{2n}{n+1}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察求等比求通項(xiàng)和采用裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和，屬于中檔題．