Question

1．設(shè)函數(shù)f′（x）是函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜$\frac{2f（x）}{x}$，函數(shù)y=f（x）（x≠0）的零點(diǎn)為1和-2，則不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，1）
• B． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• C． （-2，0）∪（0，1）
• D． （-2，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x）在定義域的單調(diào)性，將不等式x f（x）＜0轉(zhuǎn)化為x³g（x）＜0，再分別利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，可以得出相應(yīng)的解集．

解答 解：由f′（x）＜$\frac{2f（x）}{x}$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{xf′（x）-2f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{xf′（x）-2f（x）＞0}\end{array}\right.$，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，則xf（x）=x³g（x）＜0，
則g′（x）=$\frac{f′（x{）x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
故g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞減，
而g（-2）=0，g（1）=0，
則x∈（-∞，2）時(shí)：g（x）＞0，x∈（-2，0）時(shí)：g（x）＜0，
x∈（0，1）時(shí)：g（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)：g（x）＜0，
由xf（x）＜0得：x³g（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴xf（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（1，+∞），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．結(jié)合函數(shù)的草圖，會(huì)對(duì)此題有更深刻的理解．