Question

8．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ
（Ⅰ）求曲線C的普通方程．
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）把極坐標(biāo)方程根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程．
（II）由條件求得直線方程：x-y+2=0，由圓心在直線上，可得直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為直徑，從而求得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+²=2y-2x
標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-1）²=2

（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
化成普通方程為y=x+2．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y-2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
所以直線l與曲線C相交于A（0，2），B（-2，0）兩點(diǎn)
則直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)：|AB|=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．