Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

1

2

AB，點(diǎn)E、M分別為A₁B、C₁C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A₁、B、M三點(diǎn)的平面A₁BMN交C₁D₁于點(diǎn)N．
（1）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求二面角B-A₁N-B₁的正切值；
（3）設(shè)截面A₁BMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V₁、V₂（V₁＜V₂），求V₁：V₂的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A₁B₁的中點(diǎn)為F，連接EF、FC₁．跟中位線(xiàn)的性質(zhì)可知EF

∥

.

1

2

B₁B．進(jìn)而根據(jù)C₁M

∥

.

1

2

B₁B判斷出EF

∥

.

MC₁．推斷出EMC₁F為平行四邊形．進(jìn)而可知EM∥FC₁．推斷出EM∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）作B₁H⊥A₁N于H，連接BH．根據(jù)BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可知BH⊥A₁N，進(jìn)而推斷出∠BHB₁為二面角B-A₁N-B₁的平面角．根據(jù)EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM?平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，推斷出EM∥A₁N．進(jìn)而可推斷出A₁N∥FC₁．A₁F∥NC₁，推知A₁FC₁N是平行四邊形．AA₁=a，在Rt△A₁D₁N中，求得A₁N，進(jìn)而求得sin∠A₁ND₁，同理求得B₁H則在Rt△BB₁H中求得答案．
（3）延長(zhǎng)A₁N與B₁C₁交于P，則P∈平面A₁BMN，且P∈平面BB₁C₁C．首先判斷出幾何體MNC₁-BA₁B₁為棱臺(tái)．進(jìn)而求得底面積和高，分別求得各自的體積．

解答：解：（1）證明：設(shè)A₁B₁的中點(diǎn)為F，連接EF、FC₁．
∵E為A₁B的中點(diǎn)，∴EF

∥

.

1

2

B₁B．
又C₁M

∥

.

1

2

B₁B，∴EF

∥

.

MC₁．
∴四邊形EMC₁F為平行四邊形．
∴EM∥FC₁．∵EM?平面A₁B₁C₁D₁，
FC₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）解：作B₁H⊥A₁N于H，連接BH．
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BH⊥A₁N．
∴∠BHB₁為二面角B-A₁N-B₁的平面角．
∵EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM?平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，
∴EM∥A₁N．
又∵EM∥FC₁，∴A₁N∥FC₁．
又∵A₁F∥NC₁，∴四邊形A₁FC₁N是平行四邊形．∴NC₁=A₁F．
設(shè)AA₁=a，則A₁B₁=2a，D₁N=a．
在Rt△A₁D₁N中，
A₁N=

A1D12+D1N2

=

5

a，
∴sin∠A₁ND₁=

A1D1

A1N

=

2

5

．
在Rt△A₁B₁H中，B₁H=A₁B₁sin∠HA₁B₁=2a•

2

5

=

4

5

a．
在Rt△BB₁H中，
tan∠BHB₁=

BB1

B1H

=

a

4 5 a

=

5

4

．
（3）解：延長(zhǎng)A₁N與B₁C₁交于P，則P∈平面A₁BMN，且P∈平面BB₁C₁C．
又∵平面A₁BMN∩平面BB₁C₁C=BM，
∴P∈BM，即直線(xiàn)A₁N、B₁C₁、BM交于一點(diǎn)P．
又∵平面MNC₁∥平面BA₁B₁，
∴幾何體MNC₁-BA₁B₁為棱臺(tái)．
∵S=

1

2

•2a•a=a²，
S=

1

2

•a•

1

2

a=

1

4

a²，
棱臺(tái)MNC₁-BA₁B₁的高為B₁C₁=2a，
V₁=

1

3

•2a•（a²+

a2• 1 4 a2

+

1

4

a²）=

7

6

a³，∴V₂=2a•2a•a-

7

6

a³=

17

6

a³．
∴

V1

V2

=

7

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定，棱臺(tái)的體積計(jì)算等．考查了學(xué)生的綜合素質(zhì)．