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1.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,長軸在x軸上,離心率為32,且橢圓C上的一點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求以橢圓C內(nèi)的點M(1,1)為中點的弦所在的直線方程.

分析 (1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),運用橢圓的定義和離心率公式,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;
(2)設(shè)以橢圓C內(nèi)的點M(1,1)為中點的弦為AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),代入橢圓方程,作差,再由中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式,可得直線AB的斜率,再由點斜式方程可得所求直線的方程.

解答 解:(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
則e=ca=32,2a=8,解得a=4,c=23,
則b2=a2-c2=4,
可得橢圓C的方程為x216+y24=1
(2)設(shè)以橢圓C內(nèi)的點M(1,1)為中點的弦為AB,
A(x1,y1)、B(x2,y2),
則x12+4y12=16,①x22+4y22=16,②
x1+x2=2,y1+y2=2,③
①②作差,代入③,可得2(x1-x2)+4×2(y1-y2)=0,
可得kAB=y1y2x1x2=14
即有直線AB的方程為y-1=-14(x-1),
即x+4y-5=0.

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的離心率公式和定義,考查中點弦方程的求法,注意運用點差法和中點坐標(biāo)公式以及斜率公式,考查化簡整理的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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