Question

9．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：f（x）≥x-1；
（Ⅲ）若$f（x）≥a{x^2}+\frac{2}{a}（a≠0）$在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設切線的斜率為k，利用導數(shù)求解切線斜率，然后求解切線方程．
（Ⅱ）要證：f（x）≥x-1，需證明：g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函數(shù)的導數(shù)，通過函數(shù)的單調性以及函數(shù)的最值，證明即可．
（Ⅲ）要使：$xlnx≥a{x^2}+\frac{2}{a}$在區(qū)間在（0，+∞）恒成立，等價于：$h（x）=lnx-ax-\frac{2}{ax}≥0$在（0，+∞）恒成立，利用函數(shù)的導數(shù)，通過①當a＞0時，利用h（1）＜0，說明a＞0不滿足題意．②當a＜0時，利用導數(shù)以及單調性函數(shù)的最小值，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設切線的斜率為k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1
因為f（1）=1•ln1=0，切點為（1，0）．
切線方程為y-0=1•（x-1），化簡得：y=x-1．----------------------------（4分）
（Ⅱ）要證：f（x）≥x-1
只需證明：g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1-1=lnx
當x∈（0，1）時f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調遞減；
當x∈（1，+∞）時f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
當x=1時g（x）_min=g（1）=1•ln1-1+1=0g（x）=xlnx-x+1≥0在（0，+∞）恒成立
所以f（x）≥x-1．-----------------------------------------（10分）
（Ⅲ）要使：$xlnx≥a{x^2}+\frac{2}{a}$在區(qū)間在（0，+∞）恒成立，
等價于：$lnx≥ax+\frac{2}{ax}$在（0，+∞）恒成立，
等價于：$h（x）=lnx-ax-\frac{2}{ax}≥0$在（0，+∞）恒成立
因為$h′（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{2}{{a{x^2}}}$=$\frac{{-{a^2}{x^2}+ax+2}}{{a{x^2}}}$=$\frac{{-{a^2}（x+\frac{1}{a}）（x-\frac{2}{a}）}}{{a{x^2}}}$
①當a＞0時，$h（1）=ln1-a-\frac{2}{a}＜0$，a＞0不滿足題意
②當a＜0時，令h′（x）=0，則$x=-\frac{1}{a}$或$x=\frac{2}{a}$（舍）．
所以$x∈（0，-\frac{1}{a}）$時h′（x）＜0，h（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上單調遞減；$x∈（-\frac{1}{a}，+∞）$時，
h′（x）＞0，h（x）在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞增；
當$x=-\frac{1}{a}$時$h{（x）_{min}}=h（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）+1+2$
當$ln（-\frac{1}{a}）+3≥0$時，滿足題意
所以-e³≤a＜0，得到a的最小值為-e³--------------------------（14分）

點評 本題考查切線方程的求法，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．