Question

12．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足$\frac{a+b}{ab}$=1，則a+2b的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意得$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，從而得到$a+2b=（a+2b）（{\frac{1}{a}+\frac{1}}）=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}$．由此利用基本不等式能求出a+2b的最小值．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足$\frac{a+b}{ab}$=1，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，
∴$a+2b=（a+2b）（{\frac{1}{a}+\frac{1}}）=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}≥3+2\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}=\frac{a}$時(shí)，取等號(hào)，
∴a+2b的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意基本不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．