Question

7．不等式$\frac{lnx}{x}$-x+c≤0對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，則c的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 不等式$\frac{lnx}{x}$-x+c≤0對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵不等式$\frac{lnx}{x}$-x+c≤0對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，
又當(dāng)x＞0時(shí)，c≤x-$\frac{lnx}{x}$，令g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，
則g′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，解得x=1，x∈（0，1），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（1，+∞）函數(shù)是增函數(shù)，
x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值：1．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式的合理運(yùn)用．