Question

16．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0）不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據一元二次不等式與對應方程的關系，利用判別式和根與系數的關系，即可求出a、b、c的大�。�
（Ⅱ）根據二次函數的最大值為正數，列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵不等式ax²+bx+c＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}，
∴方程ax²+（b+2）x+c=0的兩個實數根為1、3，
且a＜0；
∴1+3=-$\frac{b+2}{a}$①，1×3=$\frac{c}{a}$②；
即c=3a，b=-4a-2；
又∵方程ax²+bx+c+6a=0有兩個相等的根，
∴△=b²-4a•（c+6a）=0，
即（-4a-2）²-4a•（3a+6a）=0，
化簡得5a²-4a-1=0，
解得a=1（不合題意，舍），a=-$\frac{1}{5}$；
∴b=$\frac{4}{5}$-2=-$\frac{6}{5}$，c=-$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）∵函數y=ax²+bx+c=ax²-（4a+2）x+3a，
其最大值為正數，
∴$\frac{4a•3a{-（4a+2）}^{2}}{4a}$＞0，
∴4a•3a-（4a+2）²＜0，
化簡得a²+4a+1＞0，
解得a＞-2+$\sqrt{3}$，或a＜-2-$\sqrt{3}$，
∴a的取值范圍是{a|a＜-2-$\sqrt{3}$，或-2+$\sqrt{3}$＜a＜0}．

點評 本題考查了一元二次不等式與對應的方程之間關系的應用問題，也考查了判別式和根與系數的關系應用問題，是綜合性題目．