Question

已知函數(shù)f（x）=ax²，g（x）=2elnx，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間，若F（x）有最值，請(qǐng)求其最值；
（2）是否存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線？若存在，求出a的值，以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)F（x）求導(dǎo)數(shù)，得F'（x）=

2ax2-2e

x

，x＞0．然后分a的正負(fù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)（x）沒(méi)有最值；當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（

e a

）=elna，沒(méi)有最大值．
（2）由（1）的計(jì)算結(jié)合，可得若存在正常數(shù)a滿(mǎn)足題中的條件，則必定有F（x）的最小值等于0．由此解出a=1，且f（

e

）=g（

e

）=e，得到函數(shù)圖象的公共點(diǎn)為（

e

，e），再算出f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

，可知f（x）與g（x）在x=

e

處有公共的切線，從而得到得存在正常數(shù)a=1能夠滿(mǎn)足題中的條件．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)得
F'（x）=f'（x）-g'（x）=2ax-

2e

x

=

2ax2-2e

x

．（x＞0）
①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立
此時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，沒(méi)有最值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，解方程F'（x）=0，得x=

e a

在（0，

e a

）上F（x）為減函數(shù)，在（

e a

，+∞）上F（x）為增函數(shù)
因此F（x）在（0，+∞）上有最小值F（

e a

）=e-2eln

e a

=elna；沒(méi)有最大值
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)（x）沒(méi)有最值；
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F（

e a

）=elna，沒(méi)有最大值．
（2）假設(shè)存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則函數(shù)y=F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
結(jié)合（1）的結(jié)論，可得只需F（x）的最小值等于0
因此有a＞0，且elna=0，解得a=1
[F（x）]_min=f（

e

）-g（

e

）=0，即f（

e

）=g（

e

）=e
∴f（x）與g（x）圖象的公共點(diǎn)為（

e

，e）
又∵f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

∴f（x）與g（x）的圖象在（

e

，e）處有公共的切線
切線方程為y-e=2

e

（x-

e

），即y=2

e

x-e
綜上所述，得存在正常數(shù)a=1，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，公切線方程為y=2

e

x-e．

點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），求它們的差對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值并討論兩個(gè)函數(shù)圖象的公切線問(wèn)題．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．