Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₅=16，a₂，a₇分別是方程x²+mx+128=0的兩根．
（1）求m的值以及數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的表達式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，2${\;}^{_{n}}$=2${\;}^{_{n-1}}$•a_n n≥2，求數(shù)列{a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用韋達定理和等比數(shù)列通項公式列方程組得a₁=1，q=2，由此能求出m的值以及數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的表達式．
（2）由已知得b_n=b_n-1+n-1，利用累加法求出${_{n}}^{\;}$=$\frac{n（n-1）}{2}+1$，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²}的前n項和．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₅=16，a₂，a₇分別是方程x²+mx+128=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}={a}_{1}{q}^{4}=16}\\{{a}_{2}•{a}_{7}={a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{6}=128}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{2}=2，{a}_{7}={2}^{6}=64$，
∴m=a₂+a₇=66．
${S}_{n}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1．
（2）∵a₁=1，q=2，∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，
∵{b_n}滿足b₁=1，2${\;}^{_{n}}$=2${\;}^{_{n-1}}$•a_n，n≥2，
∴b_n=b_n-1+n-1，
∴${_{n}}^{\;}$=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1
=1+1+2+3+…+n-1
=$\frac{n（n-1）}{2}+1$
∴a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²=${2}^{n-1}+\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1-\frac{{n}^{2}}{2}$=${2}^{n-1}-\frac{n}{2}+1$，
∴數(shù)列{a_n+b_n-$\frac{1}{2}$n²}的前n項和：
T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）-$\frac{1}{2}$（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$-n
=${2}^{n}-\frac{n（n+1）}{4}-n-1$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意韋達定理、等比數(shù)列的性質(zhì)、累加求和法和分組求和法的合理運用．