Question

2．證明：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1n2．（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 將不等式的左邊分子分母同除以n，可令$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$，再由積分${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1+x}$dx，計算即可得證．

解答 證明：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$=$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$+$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$+$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$+…+$\frac{\frac{1}{n}}{1+1}$
=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$，
可令$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$，
由$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$•$\frac{1}{n}$=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1+x}$dx=ln（1+x）|${\;}_{0}^{1}$=ln2-ln1=ln2．
由于n取不到∞，則有$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1n2．

點評 本題考查不等式的證明，注意變形，由極限思想求積分是解題的關鍵，考查運算能力，屬于難題．