Question

已知函數(shù)f（x）=acos²x-bsinxcosx-

3

2

，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=-

1

2

．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移才能使其對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為偶函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=-

1

2

即可求得a和b的值；
（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）=cos（2x+

π

6

）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得答案．

解答：解（1）由f（0）=

3

2

，得a-

3

2

=

3

2

，
∴a=

3

，
由f（

π

4

）=-

1

2

，得

3

2

-

b

2

-

3

2

=-

1

2

，
∴b=1，-------------------------------（4分）
（2）∴f（x）=

3

cos²x-sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x=cos（2x+

π

6

）．--------（6分）
由2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z-------------------（8分）
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．-----------------------（9分）
（3）∵f（x）=cos（2x+

π

6

）的圖象向右移

π

12

即得到偶函數(shù)f（x）=cos（2x）的圖象，
故函數(shù)f（x）的圖象右移

π

12

后對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為偶函數(shù)-------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，突出考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．