一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是
 
．
分析：正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，球的半徑，就是三棱錐的高，再求底面面積，即可求解三棱錐的體積．
解答：解：正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的
三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，
設(shè)球的半徑為1，所以底面三角形的邊長為a，
2
3
×
3
2
a=1，a=
3

該正三棱錐的體積：
1
3
×
3
4
×(
3
)2×1=
3
4

故答案為：
3
4
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積，棱錐的外接球的問題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（　�。�
A、
3
3
4
B、
3
3
C、
3
4
D、
3
12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，且該正三棱錐的體積是
3
4
，則球的體積為（　　）

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（07年陜西卷理）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是

 　　（A）      (B)              (C)        (D)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆山西省高二10月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是

A．     B．      C．          D． 

 

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