Question

16．直線y=$\frac{1}{2}$x+1過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由直線y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=-2，可得橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，進(jìn)而得出離心率．

解答 解：由直線y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=-2，
可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（0，1），（-2，0）．
由直線過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，
∴c=2，b=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．