Question

5．已知函數f（x）=alnx-x（a∈R）．
（Ⅰ）若直線y=2x+b是函數f（x）在點（1，f（1））處的切線，求實數a，b的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{a}{x}-1$，x＞0，利用切線方程斜率關系求出a，然后求解b．
（Ⅱ）解1：當a＜0時，不滿足題意，當a=0時，判定滿足題意；當a＞0時，通過函數的導數與函數的單調性關系求出函數的最值，即可得到a的范圍．
解2：轉化函數恒成立為$\frac{alnx}{x}≤1$成立，設$g（x）=\frac{alnx}{x}，x＞0$，
當a＜0時，當a=0時，分別判斷是否滿足題意，當a＞0時，則$g'（x）=\frac{a（1-lnx）}{x^2}$，利用函數的單調性與導數的關系，求解函數的最值，得到a的范圍即可．

解答 （本小題12分）
（Ⅰ）解：因為$f'（x）=\frac{a}{x}-1$，x＞0．----------------------------------------------------------（2分）
由已知可得f'（1）=a-1=2，解得a=3．----------------------------------------（3分）
因為f（1）=-1，所以-1=2+b，解得b=-3．--------------------------------（4分）
（Ⅱ）解1：當a＜0時，因為$f（{e^{\frac{2}{a}}}）=2-{e^{\frac{2}{a}}}＞0$，所以不合題意．----------------------（6分）
當a=0時，f（x）=-x對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立．--------（7分）
當a＞0時，令f'（x）=0，解得x=a，f'（x），f（x）情況如下：

x	（0，a）	a	（a+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

------------------------------（9分）
所以f（x）的最大值為f（a）．--------------------------------------（10分）
所以，依題意有f（a）=alna-a=a（lna-1）≤0，------------------------（11分）
因為a＞0，所以lna≤1，即a≤e．
綜上，所求a的取值范圍為[0，e]．----------------------------------------------（12分）
解2：對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立，即$\frac{alnx}{x}≤1$成立，
設$g（x）=\frac{alnx}{x}，x＞0$，
當a＜0時，因為$g（{e^{\frac{1}{a}}}）={e^{-\frac{1}{a}}}＞1$，顯然$\frac{alnx}{x}≤1$不恒成立．---------------（6分）
當a=0時，不等式顯然成立．-----------------------------------------------------（7分）
當a＞0時，則$g'（x）=\frac{a（1-lnx）}{x^2}$，g'（x），g（x）的情況如下：

x	（0，e）	e	（e+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

-------------------------------（9分）
所以g（x）的最大值為g（e）=ae^-1，--------------------------------------------（10分）
故只需ae^-1≤1，即a≤e．---------------------------------------------------------（11分）
綜上，所求a的取值范圍為[0，e]．----------------------------------------------（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的最值的求法，切線方程的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．