Question

已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，求證：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：證法1：（分析法）要證（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），需證其充分條件成立，直到所證關(guān)系式顯然成立，從而可知原結(jié)論成立；
證法2：（綜合法）a²d²+b²c²≥2abcd，利用重要不等式可得（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²），從而證得結(jié)論成立；
證法3：（作差法）易證（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（b²c²-a²d²）²≥0，從而可知結(jié)論成立．

解答： 證法1：（分析法）要證（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）成立，
即證：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² 成立，
即證：2abcd≤a²d²+b²c² 成立，
即證：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²成立，
上式明顯成立．
故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．
證法2：（綜合法）因?yàn)閍²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式），
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（a²+b²）（c²+d²）．
證法3：（作差法）因?yàn)椋╝²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）
=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）
=b²c²+a²d²-2abcd=（b²c²-a²d²）²≥0，
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查分析法、綜合法、作差法的應(yīng)用，考查推理證明能力，屬于中檔題．