Question

18．在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為$-\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 將三角形放入坐標(biāo)系中，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解．

解答 解：將三角形放入坐標(biāo)系中，則B（0，0），C（1，0），A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P（x，0），則0≤x≤1，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（-x，0）=x²-$\frac{1}{2}$x=（x-$\frac{1}{4}$）²$-\frac{1}{16}$，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最小值$-\frac{1}{16}$，
故答案為：$-\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用坐標(biāo)法建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．