Question

（本題滿分12分）如圖，橢圓的一個(gè) 焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若直線繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有, 求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（，+）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體解法是先確定焦點(diǎn)的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于A、B坐標(biāo)關(guān)系；本題采用兩種不同的直線設(shè)法，注意討論相應(yīng)的情況.

試題解析：解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，因?yàn)椤鱉NF為正三角形，

所以, 即1＝

因此，橢圓方程為

(Ⅱ)設(shè)

(ⅰ)當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)，

(ⅱ)當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：

整理得

所以

因?yàn)楹阌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106023729857422/SYS201503210603029402728877_DA/SYS201503210603029402728877_DA.012.png">，所以AOB恒為鈍角.

即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對(duì)mR恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對(duì)mR恒成立.

當(dāng)mR時(shí)，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,

因?yàn)閍>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）【解析】
（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，

x=1代入=1.

因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2) <4 yA2, yA2>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.

設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,

故x1+x2=

因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,

得x1x2+ y1y2<0恒成立.

x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

=(1+k2).

由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對(duì)kR恒成立.

①當(dāng)a2- a2 b2+b2>0時(shí)，不合題意；

②當(dāng)a2- a2 b2+b2=0時(shí)，a=;

③當(dāng)a2- a2 b2+b2<0時(shí)，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）

考點(diǎn)：橢圓的綜合應(yīng)用