Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{p}{2}{x^2}-lnx（{p∈R}）$．
（1）當(dāng)p=2時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)p＞1時，求證：$（{p-1}）x-f（x）＜\frac{{3{e^{p-3}}}}{2p-1}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）令$g（x）=（{p-1}）x-f（x）=（{p-1}）x-\frac{p}{2}{x^2}+lnx$，求出$g{（x）_{max}}=\frac{1}{2}p-1$．設(shè)$h（p）=\frac{{（{2p-1}）（{\frac{1}{2}p-1}）}}{{{e^{p-3}}}}（{p＞1}）$，確定單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，f（x）=x²-lnx，故$f'（x）=2x-\frac{1}{x}$，因?yàn)閒'（1）=1，f（1）=1，故所求切線方程為y=x．
（2）∵p＞1，令$g（x）=（{p-1}）x-f（x）=（{p-1}）x-\frac{p}{2}{x^2}+lnx$，
故$g'（x）=p-1-px+\frac{1}{x}=\frac{{（{px+1}）（{1-x}）}}{x}$，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），
∴g（x）在x=1時取得的極大值，并且也是最大值，即$g{（x）_{max}}=\frac{1}{2}p-1$．
又2p-1＞0，∴$（{2p-1}）[{（{p-1}）-\frac{p}{2}{x^2}+lnx}]≤（{2p-1}）（{\frac{1}{2}p-1}）$．
設(shè)$h（p）=\frac{{（{2p-1}）（{\frac{1}{2}p-1}）}}{{{e^{p-3}}}}（{p＞1}）$，則$h'（p）=-\frac{{（{2{p^2}-9p+7}）}}{{2{e^{p-3}}}}=-\frac{{（{p-1}）（{2p-7}）}}{{2{e^{p-3}}}}$，
所以h（p）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{1，\frac{7}{2}}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（{\frac{7}{2}，+∞}）$，
所以$h（p）≤h（{\frac{7}{2}}）=\frac{{6×\frac{3}{4}}}{{{e^{\frac{1}{2}}}}}=\frac{9}{{2\sqrt{e}}}$，
∵$2\sqrt{e}＞3$，∴$\frac{9}{{2\sqrt{e}}}＜\frac{9}{3}=3$，∴h（p）＜3，
又∵e^p-3＞0，∴$（{2p-1}）[{（{p-1}）x-\frac{p}{2}{x^2}+lnx}]＜3{e^{p-3}}$，即$（{p-1}）x-f（x）＜\frac{{3{e^{p-3}}}}{2p-1}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．