Question

12．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，∠PCD=90°，二面角P-CD-B為60°，BC=1，AB=PC=2．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求點C到平面PAD的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥CB，PC⊥CD，CD⊥PB，從而∠PCB=60°，進而PB=$\sqrt{3}$，推導出PB⊥BC，AB⊥CB，由此能證明平面PAB⊥平面ABCD．
（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C到平面PAD的距離．

解答 證明：（1）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
∴BC⊥CD，AB∥CD，AB⊥CB，
∵∠PCD=90°，∴PC⊥CD，
∵PC∩CB=C，∴CD⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，∴CD⊥PB，
∴∠PCB是二面角P-CD-B的平面角，
∵二面角P-CD-B為60°，BC=1，AB=PC=2．
∴∠PCB=60°，∴PB=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴PB²+BC²=PC²，∴PB⊥BC，
又AB⊥CB，PB∩AB=B，∴BC⊥面PAB，
∵BC?平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．
解：（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BP為z軸，建立空間直角坐標系，
C（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，2，0），D（1，2，0），
$\overrightarrow{PC}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
設平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，2），
∴點C到平面PAD的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．