Question

已知集合A={x|（x-1）（ax²+2x+1）=0，a∈R，x∈R}．
（1）若card（A）=1，求a的取值范圍？
（2）若card（A）=2，求a的取值范圍？
（3）若card（A）=3，求a的取值范圍？

Answer 1

考點：集合的表示法

專題：計算題,集合

分析：（1）方程ax²+2x+1=0無解，或有根1；
（2）card（A）=2，也就意味著方程ax²+2x+1=0只有一個解且不是1；a=0時，方程為一元一次方程，只有一個解，符合條件；a≠0時，方程為一元二次方程，若方程只有一個解，需判別式△=4-4a=0，所以解出a即可，這樣a的值就都求出來了．
（3）card（A）=3，即方程ax²+2x+1=0有兩個實數(shù)根且不是1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵集合A={x|（x-1）（ax²+2x+1）=0，a∈R，x∈R}，card（A）=1，
∴方程ax²+2x+1=0無解，或有根1，
∴a＞1；
（2）card（A）=2，也就意味著方程ax²+2x+1=0只有一個解且不是1；
①當(dāng)a=0時，方程化為2x+1=0，只有一個解x=-

1

2

；
②當(dāng)a≠0時，若ax²+2x+1=0只有一個解，只需△=4-4a=0，即a=1；
綜上所述，可知a的值為a=0或a=1．
（3）card（A）=3，即方程ax²+2x+1=0有兩個實數(shù)根且不是1．
∴a≠0，且△＞0
即a＞-1且a≠0．

點評：考查描述法表示集合，一元二次方程的解的求解，屬于中檔題．