Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），那么關(guān)于x的不等式f（2x-6）+f（x）＞0的解集為（　�。�

• A． {x|x＞-2}
• B． {x|x＞2}
• C． {x|0＜x＜2}
• D． {x|-2＜x＜2}

Answer 1

分析 根據(jù)條件先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴f（-x）=$\frac{{4}^{-x}-{4}^{x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）^-1=-（$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x））=-f（x），
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
且函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
則不等式f（2x-6）+f（x）＞0等價(jià)為f（2x-6）＞-f（x）=f（-x），
即2x-6＞-x，即3x＞6，得x＞2，
即不等式的解集為{x|x＞2}，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．