Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|+a，
（1）若a=-1，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=2x有三個不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；
（2）求出a=2x+|x|-|2x+1|，令g（x）=2x+|x|-|2x+1|，結合函數(shù)的圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=-1時，不等式f（x）≥0可化為：|2x+1|-|x|-1≥0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-（2x+1）-（-x）-1≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜0}\\{（2x+1）-（-x）-1≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（2x+1）-x-1≥0}\end{array}}\right.$，…（3分）
解得：x≤-2或x≥0，…（4分）
∴不等式的解集為（-∞，-2]∪[0，+∞）．               …（5分）
（2）由f（x）=2x得：a=2x+|x|-|2x+1|，
令g（x）=2x+|x|-|2x+1|，則：$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3x+{1_{\;}}（x＜-\frac{1}{2}）}\\{-x-{1_{\;}}（-\frac{1}{2}≤x＜0）}\\{x-{1_{\;}}（x≥0）}\end{array}}\right.$，…（7分）
作出函數(shù)y=g（x）的圖象如圖示，
易知$A{（-{\frac{1}{2}_{\;}}，-\frac{1}{2}）_{\;}}，B（{0_{\;}}，-1）$，

結合圖象知：當$-1＜a＜-\frac{1}{2}$時，函數(shù)y=a與y=g（x）的圖象有三個不同交點，
即方程f（x）=2x有三個不同的解，…（9分）
∴a的取值范圍為$（-{1_{\;}}，-\frac{1}{2}）$．             …（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)圖象的交點問題，是一道中檔題．