Question

8．已知圓C滿足：①圓心在第一象限，截y軸所得弦長(zhǎng)為2，②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1，③圓心到直線x-2y=0的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）若點(diǎn)M是直線x=3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別做圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出圓P的圓心坐標(biāo)，可得到圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90°，根據(jù)垂徑定理得到圓截x軸的弦長(zhǎng)，找出r與b的關(guān)系式，利用垂徑定理得到r與a的關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立得到a與b的關(guān)系式；然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出P到直線x-2y=0的距離，讓其等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得到a與b的關(guān)系式，將兩個(gè)a與b的關(guān)系式聯(lián)立即可求出a與b的值，得到圓心P的坐標(biāo)，然后利用a與b的值求出圓的半徑r，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（3，t），MP²=MC²-r²=t²-2t+3
以M為圓心，MP為半徑的圓的方程為（x-3）²+（y-t）²=t²-2t+3…①
又（x-1）²+（y-1）²=2…②．
由①②得2x+（t-1）y-3-t=0，即（2x-y-3）+t（y-1）=0，可得直線PQ過(guò)定點(diǎn)（2，1）

解答 解：設(shè)圓P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．
由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90°，
知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}r$．故r²=2b²
又圓P被y軸所截得的弦長(zhǎng)為2，所以有r²=a²+1．從而得2b²-a²=1；
又因?yàn)镻（a，b）到直線x-2y=0的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以d=$\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即有a-2b=±1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2^{2}-{a}^{2}=1}\\{a-2b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2^{2}-{a}^{2}=1}\\{a-2b=-1}\end{array}\right.$
解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，于是r²=2b²=2，
∵圓心在第一象限
所求圓的方程是（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（3，t），MP²=MC²-r²=t²-2t+3
以M為圓心，MP為半徑的圓的方程為（x-3）²+（y-t）²=t²-2t+3…①
又（x-1）²+（y-1）²=2…②．
由①②得2x+（t-1）y-3-t=0，即（2x-y-3）+t（y-1）=0
∴直線PQ過(guò)定點(diǎn)（2，1）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查軌跡的問(wèn)題、圓的相交弦問(wèn)題，考查綜合運(yùn)用知識(shí)建立曲線方程的能力，是一道中檔題．