Question

13．已知函數(shù)f（x）=b+log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（16，3），且點(diǎn)A（-4，-1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B也在f（x）的圖象上．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）+f（1-x），求函數(shù)g（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）求出A關(guān)于O對(duì)稱的點(diǎn)（4，1），將（4，1），（16，3）分別代入f（x），解方程可得a，b的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式，即可得到所求最大值和相應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=b+log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（16，3），
可得b+log_a16=3，
點(diǎn)A（-4，-1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B（4，1）也在f（x）的圖象上，
可得b+log_a4=1，
解得a=2，b=-1，
則f（x）=log₂x-1；
（2）g（x）=f（x）+f（1-x）=log₂x+log₂（1-x）-2（0＜x＜1），
=log₂[x（1-x）]-2≤log₂（$\frac{x+1-x}{2}$）²-2=-2-2=-4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）取得最大值，且為-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．