Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x-a，方程f（f（x））=0有不等的4個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=t，則得到f（t）=t²+2t-a=0，該方程應(yīng)有兩個(gè)根，所以得到a＞-1，該方程的兩個(gè)實(shí)根設(shè)為t₁，t₂，所以t1=-1+

1+a

，t2=-1-

1+a

，所以得到方程x2+2x-a=-1+

1+a

，或x2+2x-a=-1-

1+a

，這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不等實(shí)根，所以根據(jù)判別式△＞0即可求得a的取值范圍．

解答： 解：令f（x）=t，則方程f（t）=t²+2t-a=0，有兩個(gè)不等實(shí)根；
∴△=4+4a＞0，a＞-1；
且t1=-1+

1+a

，t2=-1-

1+a

；
∴f(x)=x2+2x-a=-1+

1+a

   ①，或f（x）=x2+2x-a=-1-

1+a

   ②；
∴（1）由①得x2+2x-a+1-

1+a

=0，則該方程有兩個(gè)不等實(shí)根；
∴△=4-4(1-a-

1+a

)＞0，整理得

1+a

＞-a；
顯然a≥0時(shí)，不等式成立；
a＜0時(shí)，兩邊平方后得到：a²-a-1＜0，解得，

1- 5

2

＜a＜0；
∴a＞

1- 5

2

；
（2）同理由②可求得a＞

1+ 5

2

；
∴綜上得a＞

1+ 5

2

；
∴a的取值范圍為(

1+ 5

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查一元二次方程解的情況和判別式△的關(guān)系，以及解無(wú)理不等式的方法：兩邊平方去根號(hào)，及解一元二次不等式．