Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n＞0，a₁=$\frac{2}{3}$，且-$\frac{3}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足b_n•log₃（1-S_n+1）=1，求滿足方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{504}{1009}$的正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由-$\frac{3}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$，成等差數(shù)列．可得$-\frac{3}{{a}_{1}q}+\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}$，化簡解出即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=1-$（\frac{1}{3}）^{n}$，由于數(shù)列{a_n}滿足b_n•log₃（1-S_n+1）=1，可得b_n=$\frac{1}{n+1}$，b_nb_n+1=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵-$\frac{3}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$，成等差數(shù)列．
∴-$\frac{3}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{{a}_{3}}$，
∴$-\frac{3}{{a}_{1}q}+\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}{q}^{2}}$，化為3q²+2q-1=0，q＞0，解得$q=\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$2×\frac{1}{{3}^{n}}$．即a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=1-$（\frac{1}{3}）^{n}$，
∵數(shù)列{a_n}滿足b_n•log₃（1-S_n+1）=1，∴b_n=-$\frac{1}{n+1}$，
∴b_nb_n+1=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{504}{1009}$，化為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{504}{1009}$，∴$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2018}$，解得n=2016．
∴滿足方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{504}{1009}$的正整數(shù)n=2016．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、方程的解法、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．