Question

已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3．
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法求出當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）表達(dá)式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出x≤0時(shí)f（x）表達(dá)式；
（2）數(shù)形結(jié)合：方程f（x）-c=0（c∈R）根的個(gè)數(shù)即為y=f（x）與y=c圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∵f（2）=1，∴a=-1，∴f（x）=-x²+4x-3，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以f(x)=

-x2+4x-3，x＞0 0，x=0 x2+4x+3，x＜0

．        

（2）作出f（x）的圖象（如圖所示）

由f（x）-c=0得：c=f（x），在圖中作y=c，
根據(jù)交點(diǎn)討論方程的根：
當(dāng)c≥3或c≤-3時(shí)，方程有1個(gè)根；       
當(dāng)1＜c＜3或-3＜c＜-1時(shí)，方程有2個(gè)根； 
當(dāng)c=-1或c=1時(shí)，方程有3個(gè)根；        
當(dāng)0＜c＜1或-1＜c＜0時(shí)，方程有4個(gè)根；  
當(dāng)c=0時(shí)，方程有5個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)圖象的作法，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬中檔題．