Question

給出下列命題：
（1）設(shè)隨機(jī)變量X～N（1，5²），且P（X≤0）=P（X＞a-2），則實(shí)數(shù)a的值為4．
（2）已知事件A、B是相互獨(dú)立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，則P（

.

A

B）=0.51（

.

A

表示事件A的對(duì)立事件）．
（3）（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項(xiàng)展開式中，共有4個(gè)有理項(xiàng)．
（4）由曲線y=3-x²和直線y=2x所圍成的面積為

32

3

．
則其中真命題的序號(hào)是（　　）

• A、（1）、（2）
• B、（1）、（3）
• C、（2）、（3）
• D、（1）、（2）、（3）、（4）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）依題意，知P（X≤0）=P（X＞2）=P（X＞a-2），即a-2=2，于是可求得實(shí)數(shù)a的值，可判斷（1）；
（2）利用相互獨(dú)立事件與對(duì)立事件的概率公式，可知P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B）=[1-P（A）]P（B），計(jì)算后可判斷（2）（

.

A

表示事件A的對(duì)立事件）；
（3）利用（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r 18

•(

3	x

)18-r•(

1

x

)r=

C

r 18

•x6-

5

6

r（0≤r≤18），令6-

5r

6

為整數(shù)，可求得r的值，從而可判斷（3）；
（4）作出曲線y=3-x²和直線y=2x所圍成的圖形，設(shè)其面積為S，利用微積分基本定理計(jì)算后可判斷（4）．

解答： 解：對(duì)于（1），∵隨機(jī)變量X～N（1，5²），
∴P（X≤0）=P（X＞2），
∵P（X≤0）=P（X＞a-2），
∴a-2=2，解得：a=4，即實(shí)數(shù)a的值為4，故（1）正確；
對(duì)于（2），事件A、B是相互獨(dú)立事件，P（A）=0.15，P（B）=0.60，
則P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B）=[1-P（A）]P（B）=0.85×0.60=0.51（

.

A

表示事件A的對(duì)立事件），故（2）正確；
對(duì)于（3），（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項(xiàng)展開式中，T_r+1=

C

r 18

•(

3	x

)18-r•(

1

x

)r=

C

r 18

•x6-

5

6

r（0≤r≤18），
當(dāng)r=0、6、12、18時(shí)，6-

5r

6

為整數(shù)，即（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項(xiàng)展開式中共有4個(gè)有理項(xiàng)，故（3）正確；
對(duì)于（4），由曲線y=3-x²和直線y=2x所圍成的圖形如下，設(shè)陰影部分的面積為S，

由

y=3-x2 y=2x

得：x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
則S=

∫

1 -3

（3-x²-2x）dx=（3x-

x3

3

-x²）

|

1 -3

=（2-

1

3

）-（-9+9-9）=

32

3

，故（4）正確．
綜上所述，其中真命題的序號(hào)是：（1）（2）（3）（4）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查正態(tài)分布、概率與統(tǒng)計(jì)、微積分基本定理及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于難題．